Seok Min, Lee

Seok Min, Lee

거북이처럼 느리지만 꾸준히

반갑습니다 : )

[Shortest Path] 가장 빠른 길 찾기

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가장 빠르게 도달하는 방법

최단 경로(Shortest Path) 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 길 찾기문제라고도 불린다. 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.
예를 들어 ‘한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우’, ‘모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우’등의 다양한 사례가 존재한다. 이런 사례에 맞는 알고리즘을 알고 있다면 문제를 좀 더 쉽게 풀 수 있다.
최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 ‘노드’로 표현되고, 지점간 연결된 도로는 그래프에서 ‘간선’으로 표현된다. 또한 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.

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학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘이다. 코딩 테스트에서 가장 많이 나오는 유형은 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형이다. 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 ‘음의 간선’이 없을 때 정상적으로 동작한다. 음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미한다. 현실에서는 음의 간선이 표현되지 않으므로 GPS 소프트웨어 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
다익스트라 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 ‘가장 비용이 적은 노드’을 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리는 아래와 같다.

    1. 출발 노드를 설정한다.
    1. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
    1. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
    1. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가능 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
    1. 위 과정에서 3, 4번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 ‘각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리’ 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다. 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 ‘더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야’라고 판단 하는 것이다. 따라서 ‘방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인’해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다.

  • 방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
  • 방법 2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

다익스트라 알고리즘의 동작 원리를 살펴보자. 아래와 같은 그래프가 있을 경우, 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.

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출발 노드를 1번이라 하겠다. 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산해볼 것이다. 초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 ‘무한’(int(1e9))으로 초기화한다.

step 0 먼저 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다.

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step 1 이제 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 즉, 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다. 현재 1번 노드까지 오는 비용은 0이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)이다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 ‘무한’으로 설정되어 있는데, 세 노드에 대하여 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다. 처리된 결과는 다음 그림과 같다. 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이미 처리한 노드는 회색, 이미 처리한 간선은 점선으로 표현했다.

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step 2 이후의 모든 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다. 따라서 [step 2]에서는 4번 노드가 선택된다. 이어서 4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다. 4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번이다. 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드를 가는 최소 비용은 차례대로 4(1 + 3), 2(1 + 1)이다. 이 두 값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.

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step 3 [step 3]에서 2번 노드가 선택된다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데, 이럴때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다. 그리고 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인한다. 이번 단계에서 2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.
예를 들어 2번 노드를 거쳐서 3번 노드로 이동하는 경우, 5(2 + 3)만큼의 비용이 발생한다. 하지만 이미 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 4이므로, 값이 갱신되지 않는다.

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step 4 이번에는 5번 노드가 선택된다. 5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다. 또한 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다.

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step 5 이어서 3번 노드를 선택한 뒤에 동일한 과정을 반복한다.

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step 6 6번 노드를 선택한 후 같은 과정을 반복한다. 지금까지의 최종 최단 거리 테이블은 다음과 같다.

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다익스트라 최단 경로 알고리즘에서 ‘방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택’하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 ‘최단 거리’가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다. 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

간단한 다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간 복잡도를 가지며, 다익스트라에 의해서 처음 고안되었던 알고리즘이다. 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다. 또한 DFS/BFS에서의 소스코드와 마찬가지로 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다. 그래프를 표현할 때 많이 사용하는 일반적인 코드 작성법이다.

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visited[i]:
      index = i
  return index

def dijkstra(start):
  # 시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visited[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대한 반복
  for i in range(n - 1):
    # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visited[now] = True
    # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 경로를 출력
for i in range(1, n + 1):
  # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("Infinity")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
  print(distance[i])

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도
시간 복잡도는 O(V^2)이다. 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색햐아 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다.
따라서, 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 일반적으로 간단한 다익스트라 알고리즘으로 문제를 풀 수 있다. 하지만 노드의 개수가 10,000개가 넘어가는 문제라면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다.

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

개선된 다익스트라 알고리즘을 이용하면 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다. 여기서 V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수를 의미한다.
간단한 다익스트라 알고리즘은 ‘최단 거리가 가장 짧은 노드’를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다. 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다. 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아닌 따르게 찾는 방법으로 힙(Heap) 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다. 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다.

힙 설명
힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나이다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다. 스택, 큐, 우선순위 큐 자료구조를 비교한 내용을 표로 나타내면 아래와 같다.

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우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다. 파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러리는 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다. 다만, PriorityQueue 보다는 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq를 사용하는 것을 권장한다.
우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다. 예를 들어 물건 정보가 있고, 이 물건 정보는 물건의 가치와 물건의 무게로만 구성된다고 가정하면, 모든 물건의 데이터를 (가치, 물건)으로 묶어서 우선순위 큐 자료구조에 넣을 수 있다. 이후에 우선순위 큐에서 물건을 꺼내게 되면, 항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 된다. 대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선수위를 설정한다. 따라서 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 ‘가치’값이 우선순위 값이 되는 것이다.
또한 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용한다. 최소힙을 이용하는 경우 ‘값이 낮은 데이터가 먼저 삭제’되며, 최대 힙을 이용하는 경우 ‘값이 큰 데이터가 먼저 삭제’된다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.
또한, 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.
우선순위 큐를 구현하는 방법은 다양하다. 단순히 리스트를 이용해서 구현할 수 있다. 아래는 리스트와 힙의 시간 복잡도를 비교한 표이다.

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우선순위 큐의 사용 목적은 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적이다.

step 0 1번 노드가 출발 노드인 경우를 고려해보자. 여기서는 다음과 같이 출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정한다. 이후에 우선순위 큐에 1번 노드를 넣는다. 이때 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 때문에 0이다. 즉, (거리 : 0, 노드 : 1)의 정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 된다.
파이썬에서는 간단히 튜플 (0, 1)을 우선순위 큐에 넣는다. 파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다. 따라서 (거리, 노드, 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.

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step 1 지금 우선순위 큐를 이용하고 있으므로 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 된다. 기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있다. 따라서 우선순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고, 아직 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 된다.
따라서 [step 1]의 우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0, 1)이 나온다. 이는 1번 노드까지 가는 최단거리가 0이라는 의미이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산한다. 차례대로 2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)이다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 ‘무한’으로 설정되어 있는데, 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 갱신하면 된다. 이렇게 더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 다시 우선순위 큐에 넣는다. 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이전 단계에서 처리한 노드는 회색, 간선은 점선으로 표시했다.

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step 2 이어서 다시 우선순위 큐에서 원소를 꺼내서 동일한 과정을 반복한다. 이번에는 (1, 4)의 값을 갖는 원소가 추출된다. 아직 노드 4를 방문하지 않았으며, 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가 4이다. 따라서 노드 4를 기준으로 노드 4와 연결된 간선들을 확인한다. 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1 + 3)과 2(1 + 1)이다. 이는 기존의 리스트에 담겨 있던 값들보다 작기 때문에 다음과 같이 리스트가 갱신되고, 우선순위 큐에는 (4, 3), (2, 5)라는 두 원소가 추가로 들어오게 된다. 앞서 말했듯이 현재 그림에서는 튜플의 첫 번째 원소(거리)가 작은 순서대로 왼쪽부터 기록하고 있다. 따라서 갱신된 우선순위 큐 또한 그림처럼 그려진다.

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step 3 마찬가지로 [step 3]에서는 노드 2에 대해 처리한다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 모두 값이 2로 같으므로 어떤 원소부터 처리해도 상관은 없지만, 우선순위 큐에서 2번 노드가 꺼내졌다고 가정하자. 마찬가지로 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 더 거리가 짧은 경우가 있는지 확인한다. 이번 단계에서는 2번 노드를 거쳐서 가는 경우 중 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다. 따라서 우선순위 큐에 어떠한 원소도 들어가지 않고 다음과 같이 리스트가 갱신된다.

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step 4 이번 단계에서는 노드 5에 대해 처리한다. 5번 노드를 거쳐서 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존의 값인 4보다 작다. 따라서 새로운 값이 3으로 갱신한다. 또한 6번 노드로 가는 최단 거리 역시 마찬가지로 갱신된다. 그래서 이번에는 (3, 3)과 (4, 6)이 우선순위 큐에 들어간다.

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step 5 마찬가지로 원소 (3, 3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 최단 거리 테이블이 갱신되지 않으며 결과는 다음과 같다.

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step 6 이어서 원소 (4, 3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 다만, 3번 노드는 앞서 처리된 적 있다. 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 원소에서 3번 노드까지 가는 최단 거리가 4라는 정보가 들어있다. 하지만 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 3이다. 따라서 현재 노드인 3번에 대해서는 이미 처리된 것으로 볼 수 있으므로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 (4, 3)이라는 원소는 무시하면 된다.

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step 7 이어서 원소 (4, 6)이 꺼내진다. 따라서 6번 노드에 대해서 처리하면 다음과 같다.

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step 8 마지막으로 남은 원소를 꺼내지만, 아까와 마찬가지로 이미 처리된 노드이므로 무시한다.

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개선된 다익스트라 알고리즘의 코드는 다음과 같다. 앞의 코드외 비교하자면 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다. 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
  q = []
  # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
  heapq.heappush(q, (0, start))
  distance[start] = 0
  while q: # 큐가 비어있지 않다면
    # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
    dist, now = heapq.heappop(q)
    # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
    if distance[now] < dist:
      continue
    # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
  # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
  print(distance[i])

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

시간 복잡도가 O(ElogV)로 훨씬 빠르다. 개선하기 전 다익스트라 알고리즘보다 빠른 이유는 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리하지 않기 때문이다. 다시 말해 큐에서 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다. 또한, V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다. 따라서, ‘현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인’하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.

플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)은 ‘모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우’에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘과 다른 점은 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다. 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 ‘현재 노드를 거쳐 가는’ 모든 경로를 고려한다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간 복잡도는 O(N^3)이다.
다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트를 이용했지만 플로이드 워셜 알고리즘은 2차원 리스트에 ‘최단 거리’정보를 저장한다는 특징이 있다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다. 즉, 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요된다.
또한, 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.
다음 그림을 통해 구체적인 예시를 확인해보도록 하자.

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step 0

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step 1 [step 1]에서는 단순히 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다. 이때는 정확히 다음과 같이 6 = 3P2 가지 경우에 대해서만 고민하면 된다. 2차원 테이블에서는 다른 색으로 칠해 놓았는데, 계산해야 할 값들은 구체적으로 다음과 같다.

  • $D_23$ = min($D_23$, $D_21$ + $D_13$)
  • $D_24$ = min($D_24$, $D_21$ + $D_14$)
  • $D_32$ = min($D_32$, $D_31$ + $D_12$)
  • $D_34$ = min($D_34$, $D_31$ + $D_14$)
  • $D_42$ = min($D_42$, $D_41$ + $D_12$)
  • $D_43$ = min($D_43$, $D_41$ + $D_13$)
    이 6가지 경우만 하나씩 확인하며 값을 계산하여 갱신한다. 예를 들어 $D_23$ = min($D_23$, $D_21$ + $D_13$)은 ‘기존의 2번 노드에서 3번 노드로 가는 비용’보다 ‘2번 노드에서 1번 노드를 거쳐 3번 노드로 가는 비용’이 더 적다면, 그것으로 갱신해주겠다는 의미를 가진다. 그래서 $D_23$의 값은 $D_23$과 ($D_21$ + $D_13$) 중에서 더 작은 값으로 교체된다. 다시 말해 1을 거쳐 갈 때가 더 빠른 경우가 존재한다면 빠른 경우로 최단 거리를 갱신해주는 식이다.

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이렇게 6가지 식을 모두 계산해서 값을 갱신하면 테이블이 다음과 같이 바뀐다. 예를 들어 $D_24$는 원래 ‘무한’의 값을 가졌는데, $D_21$ + $D_14$ = 9와 비교해서 9로 갱신된다.

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step 2 마찬가지로 알고리즘을 [step 2]에 대해서도 수행할 수 있다. 현재 테이블의 상태는 다음과 같다.

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이번에는 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 계산해야 하므로 2번 노드를 제외한 1번, 3번, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려한다. 정확히 (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3)으로 6가지 경우가 있다. 각각의 위치를 테이블 상에서 하늘색으로 표시하면 다음과 같다. 이 6가지 값만 생성하면 된다.

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마찬가지로 하늘색 부분에 대해서만 고려하면, 갱신 결과는 다음과 같다. 예를 들어 $D_13$은 원래 ‘무한’의 값을 가졌는데, $D_12$ + $D_23$ = 11과 비교해서 11로 갱신된다.

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step 3 마찬가지로 3번 노드에 대해서 동일한 과정을 반복하면 된다. 현재 테이블은 다음과 같은 값을 가지고 있다.

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3번을 제외하고 1번, 2번, 4번 중에서 두 쌍을 선택하는 경우는 (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (4, 1), (4, 2)로 6가지 경우가 있다. 이 6가지 경우를 색칠하면 다음과 같다.

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마찬가지로 [step 3]에 대해서도 점화식에 맞게 테이블을 갱신하여, 반영된 결과를 확인하면 다음과 같다.

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step 4 마찬가지로 4번 노드에 대해서도 처리할 수 있다. 현재 테이블의 상태는 다음과 같다.

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4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고라하면 다음과 같이 6가지 경우를 테이블에 색칠해두었다.

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갱신된 결과는 다음과 같다.

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최종 결과
노드의 개수가 4개이므로 총 [step 4]까지 알고리즘을 수행하였다. 그래서 [step 4]가 모두 수행되었을 때 최종적으로 테이블의 형태는 다음과 같다.

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소스코드는 다음과 같다.

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
  for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if graph[a][b] = INF:
      print("INFINITY", end = ' ')
    else:
      print(graph[a][b], end = ' ')
  print()

🐢 현재 공부하고 있는 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 - 나동빈 저자 의 책을 학습하며 기록 및 정리를 하기위한 내용들입니다. 🐢

감사합니다.😊

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