[Greedy Algorithm] 큰 수의 법칙

1. 큰 수의 법칙

난이도 : ⭐

문제

큰 수의 법칙은 일반적으로 통계 분야에서 다루어지는 내용이지만 동빈이는 본인만의 방식으로 다르게 사용하고 있다. 동빈이의 큰 수의 법칙은 다양한 수로 이루어진 배열이 있을 때 주어진 수들을 M번 더하여 가장 큰 수를 만드는 법칙이다. 단, 배열의 특정한 인덱스(번호)에 해당하는 수가 연속해서 K번을 초과하여 더해질 수없는 것이 이 법칙의 특징이다.
예를 들어 순서대로 2, 4, 5, 4, 6으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 8이고, K가 3이라고 가정하자. 이 경우 특정한 인덱스의 수가 연속해서 세 번까지만 더해질 수 있으므로 큰 수의 법칙에 따른 결과는 6 + 6 + 6 + 5 + 6 + 6 + 6 + 5인 46이 된다.
단, 서로 다른 인덱스에 해당하는 수가 같은 경우에도 서로 다른 것으로 간주한다. 예를 들어 순서대로 3, 4, 3, 4, 3으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 7이고, K가 2라고 가정하자. 이 경우 두 번째 원소에 해당하는 4와 네 번째 원소에 해당하는 4를 번갈아 두 번씩 더하는 것이 가능하다. 결과적으로 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4인 28이 도출된다.
배열의 크기 N, 숫자가 더해지는 횟수 M, 그리고 K가 주어질 때 동빈이의 큰 수의 법칙에 따른 결과를 출력하시오.

입력 조건

• 첫째 줄에 N(2 <= N <= 1,000), M(1 <= M <= 10,000), K(1 <= K <= 10,000)의 자연수가 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다.
• 둘째 줄에 N개의 자연수가 주어진다. 각 자연수는 공백으로 구분한다. 단, 각각의 자연수는 1이상 10,000 이하의 수로 주어진다.
• 입력으로 주어지는 K는 항상 M보다 작거나 같다.

출력 조건

• 첫째 줄에 동빈이의 큰 수의 법칙에 따라 더해진 답을 출력한다.

입력 예시
5 8 3
2 4 5 4 6

출력 예시
46

내 풀이

# 큰 수의 법칙
N, M, K = map(int, input().split())
arr = list(map(int, input().split()))
sorted_arr = sorted(arr, reverse=True)
cnt1 = 0
cnt2 = 0
sum = 0

while cnt1 < M:
    if cnt2 == K:
        sum += sorted_arr[1]
        cnt1 += 1
        cnt2 = 0
    else:
        sum += sorted_arr[0]
        cnt1 += 1
        cnt2 += 1

print(sum)

문제 해설

이 문제의 해결 포인트는 입력 값 중에서 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수만 저장하면 된다.
연속으로 더할 수 있는 횟수는 최대 K번이므로 ‘가장 큰 수를 K번 더하고 두 번째로 큰 수를 한 번 더하는 연산’을 반복하면 된다.

단순하게 푸는 답안 예시

# N, M, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, m, k = map(int ,input().split())
# N개의 수를 공백으로 구분하여 입력받기
data = list(map(int, input().split()))

data.sort() # 입력받은 수를 정렬하기
first = data[n - 1]
second = data[n - 2]

result = 0

while True:
    for i in range(k): # 가장 큰 수를 K번 더하기
        if m == 0: # m이 0이라면 반복문 탈출
            break
        result += first
        m -= 1 # 더할 때마다 1씩 빼기
    if m == 0: # m이 0이라면 반복문 탈출
        break
    result += second # 두 번째로 큰 수를 한 번 더하기
    m -= 1 # 더할 때마다 1씩 빼기

print(result) # 최종 답안 출력

이 문제는 M이 10,000 이하이므로 이 문제를 해결할 수 있지만, M이 크기가 100억 이상처럼 커진다면 시간 초과 판정을 받으므로 수학적 아이디어를 이용해 효율적으로 문제를 해결해보자.

예를 들어, N이 5이고 입력값이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.
[2, 4, 5, 4, 6]

가장 큰 수 : 6
두 번째로 큰 수 : 5

이 문제를 수학적인 아이디어를 이용해 풀려면 반복되는 수열에 대해서 파악 해야 한다.
위의 문제에서는 [6, 6, 6, 5]가 반복된다. 수열의 길이는 K+1로 위 예시에서는 4가 된다.
따라서, M을 (K + 1)로 나눈 몫이 수열이 반복되는 횟수가 된다. 다시 여기에 K를 곱해주면 가장 큰 수가 등장하는 횟수가 된다.
이 때 M이 (K + 1)로 나누어떨어지지 않는 경우도 고려해야 한다. 그럴 때는 M을 (K+1)로 나눈 나머지만큼 가장 큰 수가 추가로 더해지므로 이를 고려해줘야 한다. 즉, ‘가장 큰 수가 더해지는 횟수’는 다음과 같다.
int(M / K +1) * K + M % (K + 1)
결과적으로, 위의 식을 이용하여 가장 큰 수가 더해지는 횟수를 구한 다음, 이를 이용해 두 번째로 큰 수가 더해지는 횟수까지 구할 수 있는 것이다. 이를 토대로 구한 답안은 아래와 같다.

답안지

# N, M, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, m, k = map(int, input().split())
# N개의 수를 공백으로 구분하여 입력받기
data = list(map(int, input().split()))

data.sort() # 입력받은 수 정렬
first = data[n - 1] # 가장 큰 수
second = data[n - 2] # 두 번째로 큰 수

# 가장 큰 수가 더해지는 횟수 계산
count = int(m / (k + 1)) * k
count += m % (k + 1)

result = 0
result += (count) * first # 가장 큰 수 더하기
result += (m - count) * second # 두 번째로 큰 수 더하기

print(result) # 최종 답안 출력

기출 : 2019 국가 교육기관 코딩 테스트

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🐢 현재 공부하고 있는 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 - 나동빈 저자 의 책을 학습하며 기록 및 정리를 하기위한 내용들입니다. 🐢

감사합니다.😊

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